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|00000e40| 64 66 72 61 63 7b 7c 77 | 5e 5c 65 70 73 69 6c 6f |dfrac{|w|^\epsilo|
|00000e50| 6e 28 78 2c 74 5f 32 29 | 2d 77 5e 5c 65 70 73 69 |n(x,t_2)|-w^\epsi|
|00000e60| 6c 6f 6e 28 78 2c 74 5f | 31 29 7c 7d 7b 7c 74 5f |lon(x,t_|1)|}{|t_|
|00000e70| 32 2d 74 5f 31 7c 5e 70 | 7d 5c 6c 65 71 20 31 2f |2-t_1|^p|}\leq 1/|
|00000e80| 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e | 5e 32 2c 0a 24 24 0a 77 |\epsilon|^2,.$$.w|
|00000e90| 68 65 72 65 20 24 70 24 | 20 69 73 20 73 6f 6d 65 |here $p$| is some|
|00000ea0| 20 6e 75 6d 62 65 72 20 | 6e 6f 74 20 65 78 63 65 | number |not exce|
|00000eb0| 65 64 69 6e 67 20 24 31 | 24 2c 0a 5c 65 6e 64 72 |eding $1|$,.\endr|
|00000ec0| 6f 73 74 65 72 7d 0a 74 | 68 65 6e 20 24 7c 45 20 |oster}.t|hen $|E |
|00000ed0| 28 75 5e 68 2c 77 5e 5c | 65 70 73 69 6c 6f 6e 2c |(u^h,w^\|epsilon,|
|00000ee0| 54 29 7c 5c 6c 65 71 5c | 6f 6d 65 67 61 28 68 2c |T)|\leq\|omega(h,|
|00000ef0| 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e | 29 2e 24 0a 5c 65 6e 64 |\epsilon|).$.\end|
|00000f00| 72 6f 73 74 65 72 0a 54 | 68 65 6e 2c 20 74 68 65 |roster.T|hen, the|
|00000f10| 72 65 20 69 73 20 61 20 | 63 6f 6e 73 74 61 6e 74 |re is a |constant|
|00000f20| 20 24 43 3d 43 28 6d 2c | 4d 2c 54 29 24 20 73 75 | $C=C(m,|M,T)$ su|
|00000f30| 63 68 20 74 68 61 74 0a | 24 24 0a 5c 7c 75 2d 75 |ch that.|$$.\|u-u|
|00000f40| 5e 68 5c 7c 5f 7b 5c 69 | 6e 66 74 79 2c 5c 42 62 |^h\|_{\i|nfty,\Bb|
|00000f50| 62 52 5c 74 69 6d 65 73 | 5b 30 2c 54 5d 7d 5c 6c |bR\times|[0,T]}\l|
|00000f60| 65 71 0a 43 5c 6c 65 66 | 74 5b 0a 5c 73 75 70 20 |eq.C\lef|t[.\sup |
|00000f70| 5c 6c 65 66 74 20 7c 5c | 69 6e 74 5f 5c 42 62 62 |\left |\|int_\Bbb|
|00000f80| 52 28 75 5f 30 28 78 29 | 2d 75 5e 68 28 78 2c 30 |R(u_0(x)|-u^h(x,0|
|00000f90| 29 29 20 20 77 28 78 2c | 30 29 20 5c 2c 64 78 5c |))  w(x,|0) \,dx\|
|00000fa0| 72 69 67 68 74 7c 2b 0a | 5c 6f 6d 65 67 61 28 68 |right|+.|\omega(h|
|00000fb0| 2c 5c 65 70 73 69 6c 6f | 6e 29 2b 5c 65 70 73 69 |,\epsilo|n)+\epsi|
|00000fc0| 6c 6f 6e 5e 5c 61 6c 70 | 68 61 5c 72 69 67 68 74 |lon^\alp|ha\right|
|00000fd0| 5d 2c 0a 5c 74 61 67 20 | 32 2e 31 0a 24 24 0a 77 |],.\tag |2.1.$$.w|
|00000fe0| 68 65 72 65 20 74 68 65 | 20 73 75 70 72 65 6d 75 |here the| supremu|
|00000ff0| 6d 20 69 73 20 74 61 6b | 65 6e 20 6f 76 65 72 20 |m is tak|en over |
|00001000| 61 6c 6c 20 24 77 5c 69 | 6e 5c 62 6f 6c 64 20 58 |all $w\i|n\bold X|
|00001010| 24 2e 0a 5c 65 6e 64 70 | 72 6f 63 6c 61 69 6d 0a |$..\endp|roclaim.|
|00001020| 5c 64 65 6d 6f 7b 50 72 | 6f 6f 66 7d 4c 65 74 20 |\demo{Pr|oof}Let |
|00001030| 24 7a 24 20 62 65 20 69 | 6e 20 24 5c 62 6f 6c 64 |$z$ be i|n $\bold|
|00001040| 20 58 24 2e 20 42 65 63 | 61 75 73 65 20 24 45 28 | X$. Bec|ause $E(|
|00001050| 75 2c 5c 73 64 6f 74 2c | 5c 73 64 6f 74 29 5c 65 |u,\sdot,|\sdot)\e|
|00001060| 71 75 69 76 30 24 2c 0a | 45 71 75 61 74 69 6f 6e |quiv0$,.|Equation|
|00001070| 20 28 31 2e 35 29 20 69 | 6d 70 6c 69 65 73 20 74 | (1.5) i|mplies t|
|00001080| 68 61 74 0a 24 24 0a 5c | 69 6e 74 5f 5c 42 62 62 |hat.$$.\|int_\Bbb|
|00001090| 52 5c 44 65 6c 74 61 20 | 75 7a 7c 5e 54 5f 30 64 |R\Delta |uz|^T_0d|
|000010a0| 78 3d 5c 69 6e 74 5f 30 | 5e 54 5c 69 6e 74 5f 5c |x=\int_0|^T\int_\|
|000010b0| 42 62 62 52 0a 5c 44 65 | 6c 74 61 20 75 28 7a 5f |BbbR.\De|lta u(z_|
|000010c0| 74 2b 5c 70 68 69 5b 75 | 2c 75 5e 68 5d 7a 5f 7b |t+\phi[u|,u^h]z_{|
|000010d0| 78 78 7d 29 5c 2c 64 78 | 5c 2c 64 74 2d 0a 45 28 |xx})\,dx|\,dt-.E(|
|000010e0| 75 5e 68 2c 7a 2c 74 29 | 2c 0a 5c 74 61 67 20 32 |u^h,z,t)|,.\tag 2|
|000010f0| 2e 32 0a 24 24 0a 77 68 | 65 72 65 20 24 5c 44 65 |.2.$$.wh|ere $\De|
|00001100| 6c 74 61 20 75 3d 75 2d | 75 5e 68 24 20 61 6e 64 |lta u=u-|u^h$ and|
|00001110| 20 0a 24 24 0a 5c 70 68 | 69 5b 75 2c 75 5e 68 5d | .$$.\ph|i[u,u^h]|
|00001120| 3d 5c 64 66 72 61 63 7b | 5c 70 68 69 28 75 29 2d |=\dfrac{|\phi(u)-|
|00001130| 5c 70 68 69 28 75 5e 68 | 29 7d 7b 75 2d 75 5e 68 |\phi(u^h|)}{u-u^h|
|00001140| 7d 2e 0a 24 24 0a 45 78 | 74 65 6e 64 20 24 5c 70 |}..$$.Ex|tend $\p|
|00001150| 68 69 5b 75 2c 75 5e 68 | 5d 28 5c 63 64 6f 74 2c |hi[u,u^h|](\cdot,|
|00001160| 74 29 3d 5c 70 68 69 5b | 75 2c 75 5e 68 5d 28 5c |t)=\phi[|u,u^h](\|
|00001170| 63 64 6f 74 2c 30 29 24 | 20 66 6f 72 20 6e 65 67 |cdot,0)$| for neg|
|00001180| 61 74 69 76 65 20 24 74 | 24 2c 20 61 6e 64 0a 24 |ative $t|$, and.$|
|00001190| 5c 70 68 69 5b 75 2c 75 | 5e 68 5d 28 5c 63 64 6f |\phi[u,u|^h](\cdo|
|000011a0| 74 2c 74 29 3d 5c 70 68 | 69 5b 75 2c 75 5e 68 5d |t,t)=\ph|i[u,u^h]|
|000011b0| 28 5c 63 64 6f 74 2c 54 | 29 24 0a 66 6f 72 20 24 |(\cdot,T|)$.for $|
|000011c0| 74 3e 54 24 2e 5c 66 6f | 6f 74 6e 6f 74 65 7b 54 |t>T$.\fo|otnote{T|
|000011d0| 68 69 73 20 69 73 20 61 | 6e 20 6f 62 76 69 6f 75 |his is a|n obviou|
|000011e0| 73 20 70 6c 6f 79 2c 20 | 62 75 74 20 77 65 20 6e |s ploy, |but we n|
|000011f0| 65 65 64 20 61 20 66 6f | 6f 74 6e 6f 74 65 2e 7d |eed a fo|otnote.}|
|00001200| 0a 46 69 78 20 61 20 70 | 6f 69 6e 74 20 24 78 5f |.Fix a p|oint $x_|
|00001210| 30 24 20 61 6e 64 20 61 | 20 6e 75 6d 62 65 72 20 |0$ and a| number |
|00001220| 24 5c 65 70 73 69 6c 6f | 6e 3e 30 24 2e 20 4c 65 |$\epsilo|n>0$. Le|
|00001230| 74 20 24 6a 5f 5c 65 70 | 73 69 6c 6f 6e 24 0a 62 |t $j_\ep|silon$.b|
|00001240| 65 20 61 20 73 6d 6f 6f | 74 68 20 66 75 6e 63 74 |e a smoo|th funct|
|00001250| 69 6f 6e 20 6f 66 20 24 | 78 24 20 77 69 74 68 20 |ion of $|x$ with |
|00001260| 69 6e 74 65 67 72 61 6c | 20 24 31 24 20 61 6e 64 |integral| $1$ and|
|00001270| 20 73 75 70 70 6f 72 74 | 20 69 6e 20 0a 24 5b 2d | support| in .$[-|
|00001280| 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e | 2c 5c 65 70 73 69 6c 6f |\epsilon|,\epsilo|
|00001290| 6e 5d 24 2c 0a 61 6e 64 | 20 6c 65 74 20 24 4a 5f |n]$,.and| let $J_|
|000012a0| 5c 64 65 6c 74 61 24 20 | 62 65 20 61 20 73 6d 6f |\delta$ |be a smo|
|000012b0| 6f 74 68 20 66 75 6e 63 | 74 69 6f 6e 20 6f 66 0a |oth func|tion of.|
|000012c0| 24 78 24 20 61 6e 64 20 | 24 74 24 20 77 69 74 68 |$x$ and |$t$ with|
|000012d0| 20 69 6e 74 65 67 72 61 | 6c 20 24 31 24 20 61 6e | integra|l $1$ an|
|000012e0| 64 20 73 75 70 70 6f 72 | 74 20 69 6e 20 0a 24 5b |d suppor|t in .$[|
|000012f0| 2d 5c 64 65 6c 74 61 2c | 5c 64 65 6c 74 61 5d 5c |-\delta,|\delta]\|
|00001300| 74 69 6d 65 73 5b 2d 5c | 64 65 6c 74 61 2c 5c 64 |times[-\|delta,\d|
|00001310| 65 6c 74 61 5d 24 3b 20 | 24 5c 64 65 6c 74 61 24 |elta]$; |$\delta$|
|00001320| 20 61 6e 64 20 24 5c 65 | 70 73 69 6c 6f 6e 24 20 | and $\e|psilon$ |
|00001330| 61 72 65 0a 70 6f 73 69 | 74 69 76 65 20 6e 75 6d |are.posi|tive num|
|00001340| 62 65 72 73 20 74 6f 20 | 62 65 20 73 70 65 63 69 |bers to |be speci|
|00001350| 66 69 65 64 20 6c 61 74 | 65 72 2e 0a 57 65 20 63 |fied lat|er..We c|
|00001360| 68 6f 6f 73 65 20 24 7a | 3d 7a 5e 7b 5c 65 70 73 |hoose $z|=z^{\eps|
|00001370| 69 6c 6f 6e 5c 64 65 6c | 74 61 7d 24 20 74 6f 20 |ilon\del|ta}$ to |
|00001380| 73 61 74 69 73 66 79 0a | 24 24 0a 5c 61 6c 69 67 |satisfy.|$$.\alig|
|00001390| 6e 65 64 0a 20 20 26 7a | 5f 74 2b 28 5c 64 65 6c |ned.  &z|_t+(\del|
|000013a0| 74 61 2b 4a 5f 5c 64 65 | 6c 74 61 2a 5c 70 68 69 |ta+J_\de|lta*\phi|
|000013b0| 5b 75 2c 75 5e 68 5d 29 | 7a 5f 7b 78 78 7d 3d 30 |[u,u^h])|z_{xx}=0|
|000013c0| 2c 5c 71 71 75 61 64 20 | 78 5c 69 6e 5c 42 62 62 |,\qquad |x\in\Bbb|
|000013d0| 52 2c 5c 3b 30 5c 6c 65 | 71 20 74 5c 6c 65 71 20 |R,\;0\le|q t\leq |
|000013e0| 54 2c 0a 5c 5c 0a 20 20 | 26 7a 28 78 2c 54 29 3d |T,.\\.  |&z(x,T)=|
|000013f0| 6a 5f 5c 65 70 73 69 6c | 6f 6e 28 78 2d 78 5f 30 |j_\epsil|on(x-x_0|
|00001400| 29 2e 0a 5c 65 6e 64 61 | 6c 69 67 6e 65 64 0a 5c |)..\enda|ligned.\|
|00001410| 74 61 67 20 32 2e 33 0a | 24 24 0a 54 68 65 20 63 |tag 2.3.|$$.The c|
|00001420| 6f 6e 63 6c 75 73 69 6f | 6e 20 6f 66 20 74 68 65 |onclusio|n of the|
|00001430| 20 74 68 65 6f 72 65 6d | 20 6e 6f 77 20 66 6f 6c | theorem| now fol|
|00001440| 6c 6f 77 73 20 66 72 6f | 6d 20 28 32 2e 31 29 20 |lows fro|m (2.1) |
|00001450| 61 6e 64 20 74 68 65 20 | 66 61 63 74 20 74 68 61 |and the |fact tha|
|00001460| 74 0a 24 24 0a 7c 6a 5f | 5c 65 70 73 69 6c 6f 6e |t.$$.|j_|\epsilon|
|00001470| 2a 5c 44 65 6c 74 61 20 | 75 28 78 5f 30 2c 74 29 |*\Delta |u(x_0,t)|
|00001480| 2d 5c 44 65 6c 74 61 20 | 75 28 78 5f 30 2c 74 29 |-\Delta |u(x_0,t)|
|00001490| 7c 5c 6c 65 71 20 43 5c | 65 70 73 69 6c 6f 6e 5e ||\leq C\|epsilon^|
|000014a0| 5c 61 6c 70 68 61 2c 0a | 24 24 0a 77 68 69 63 68 |\alpha,.|$$.which|
|000014b0| 20 66 6f 6c 6c 6f 77 73 | 20 66 72 6f 6d 20 20 41 | follows| from  A|
|000014c0| 73 73 75 6d 70 74 69 6f | 6e 20 32 2e 5c 71 65 64 |ssumptio|n 2.\qed|
|000014d0| 0a 5c 65 6e 64 64 65 6d | 6f 0a 5c 52 65 66 73 0a |.\enddem|o.\Refs.|
|000014e0| 5c 72 65 66 20 0a 20 20 | 5c 6e 6f 20 31 0a 20 20 |\ref .  |\no 1.  |
|000014f0| 5c 62 79 20 4b 2e 20 48 | 6f 6c 6c 69 67 20 61 6e |\by K. H|ollig an|
|00001500| 64 20 4d 2e 20 50 69 6c | 61 6e 74 0a 20 20 5c 70 |d M. Pil|ant.  \p|
|00001510| 61 70 65 72 20 52 65 67 | 75 6c 61 72 69 74 79 20 |aper Reg|ularity |
|00001520| 6f 66 20 74 68 65 20 66 | 72 65 65 20 62 6f 75 6e |of the f|ree boun|
|00001530| 64 61 72 79 20 66 6f 72 | 20 74 68 65 20 70 6f 72 |dary for| the por|
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